1357 Вправа 1357Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1357. Усередині квадрата зі стороною 6 дм позначено 50 точок. Доведи, що серед них є такі точки, відстань між якими менша від 1,5 дм.

Дано: ABCD – квадрат; AB = 6 дм; 50 точок усередині квадрата.

Довести: є такі точки, відстань між якими менша від 1,5 дм.

Доведення

Поділимо кожну сторону великого квадрата на 6 рівних частин і проведемо через точки поділу прямі, паралельні сторонам.

Сторона малого квадрата: 6 : 6 = 1 (дм).

Кількість малих квадратів: 6 · 6 = 36.

Оскільки 50 > 36, за принципом Діріхле знайдеться принаймні один малий квадрат, у якому міститься щонайменше 2 точки.

Відстань між точками цього квадрата не більша за його діагональ:

d = ${\displaystyle \sqrt{1²+1²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{2}}$ ≈ 1,41 (дм) < 1,5 дм.

Отже, усередині квадрата є такі точки, відстань між якими менша від 1,5 дм.