1350 Вправа 1350Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1350. Побудуй рівнобедрений трикутник за основою і медіаною, проведеною до бічної сторони.

Дано: b – основа; m – медіана, проведена до бічної сторони.

Аналіз

Нехай △ABC – шуканий (AB = BC, AC = b), AM – медіана (AM = m). Медіана BH, проведена до основи, лежить на серединному перпендикулярі до AC. Медіани перетинаються в точці O, AO = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$m, OM = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$m.

Побудова

1. Побудуємо основу AC = b.

2. До основи AC проведемо серединний перпендикуляр HH₁.

3. З точки A проведемо дугу радіуса ${\displaystyle \frac{2}{3}}$m, яка перетне HH₁ у точці O.

4. На продовженні променя AO відкладемо відрізок OM = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$m.

5. Проведемо пряму через точки C і M до перетину з HH₁; CM ∩ HH₁ = B.

6. △ABC – шуканий.

Доведення

B лежить на серединному перпендикулярі до AC, тому AB = BC. O лежить на медіані BH і ділить AM у відношенні 2 : 1, тому O – точка перетину медіан і AM – медіана, AM = m.