1373 Вправа 1373Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1373. Висоти AA₁ і BB₁ трикутника ABC перетинаються в точці H. Доведи, що A₁H · A₁A = BA₁ · CA₁ і B₁H · B₁B = CB₁ · AB₁.

Дано: △ABC; AA₁, BB₁ – висоти; AA₁ ∩ BB₁ = H.

Довести: A₁H · A₁A = BA₁ · CA₁; B₁H · B₁B = CB₁ · AB₁.

Доведення

1) △BA₁H (∠A₁ = 90°) і △AA₁C (∠A₁ = 90°):

∠HBA₁ = 90° – ∠C; ∠CAA₁ = 90° – ∠C.

Отже, △BA₁H ~ △AA₁C (за двома кутами).

Із подібності трикутників: ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}₁\mathrm{H}}{\mathrm{CA}₁}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BA}₁}{\mathrm{AA}₁}}$; A₁H · A₁A = BA₁ · CA₁.

2) △AB₁H (∠B₁ = 90°) і △BB₁C (∠B₁ = 90°):

∠HAB₁ = 90° – ∠C; ∠CBB₁ = 90° – ∠C.

Отже, △AB₁H ~ △BB₁C (за двома кутами).

Із подібності трикутників: ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}₁\mathrm{H}}{\mathrm{CB}₁}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}₁}{\mathrm{BB}₁}}$; B₁H · B₁B = CB₁ · AB₁.