1367 Вправа 1367Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1367. Стародавня китайська задача. Є горизонтальний катет у 5 бу і вертикальний катет у 12 бу. Знайди сторону квадрата, вписаного в цей трикутник.

Дано: △ABC (∠C = 90°) описаний навколо квадрата CKMT; AC = 12 бу; BC = 5 бу.

Знайти: CT.

Розв'язання

Нехай CT = x бу.

△ABC (∠C = 90°):

AB = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{AC}²+\mathrm{BC}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{12²+5²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{169}}$ = 13 (бу).

KM ∥ CB, тоді △AKM ~ △ACB:

${\displaystyle \frac{\mathrm{KM}}{\mathrm{CB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{AC}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{5}}$ = ${\displaystyle \frac{12-\mathrm{x}}{12}}$;

12x = 60 – 5x;

12x + 5x = 60;

17x = 60;

x = ${\displaystyle \frac{60}{17}}$ = 3${\displaystyle \frac{9}{17}}$. CT = 3${\displaystyle \frac{9}{17}}$ бу.

Відповідь: 3${\displaystyle \frac{9}{17}}$ бу.