1375 Вправа 1375Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1375. Основи трапеції дорівнюють 3 і 5, а бічні сторони 2 і 2${\displaystyle \sqrt{2}}$. Знайди кути трапеції.

Дано: ABCD – трапеція; BC = 3; AD = 5; AB = 2; CD = 2${\displaystyle \sqrt{2}}$.

Знайти: кути трапеції.

Розв'язання

Проведемо висоти BK і CM.

KBCM – прямокутник, тоді KM = BC = 3.

Нехай AK = x, тоді MD = AD – KM – AK = 5 – 3 – x = 2 – x.

△AKB (∠K = 90°):

BK² = AB² – AK² = 2² – x² = 4 – x².

△DMC (∠M = 90°):

CM² = CD² – MD² = (2${\displaystyle \sqrt{2}}$)² – (2 – x)² = 8 – (4 – 4x + x²) = 4 + 4x – x².

BK = CM, тоді 4 – x² = 4 + 4x – x²;

4x = 0;

x = 0;

AK = 0.

Отже, точка K збігається з точкою A. AB є висотою трапеції, тоді ∠A = ∠B = 90°.

MD = 2 – x = 2 – 0 = 2.

Висота AB = 2, тоді CM = 2.

Отже, △DMC (∠M = 90°) – рівнобедрений;

∠D = 45°; ∠C = 180° – ∠D = 180° – 45° = 135°.

Відповідь: 90°; 90°; 135°; 45°.