1366 Вправа 1366Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1366. Задача Евкліда. У дане коло впиши трикутник, подібний даному трикутнику.

Дано: коло з центром O; △ABC.

Побудувати: △A₁B₁C₁, вписаний у коло, △A₁B₁C₁ ~ △ABC.

Побудова

1. Позначимо на колі довільну точку A₁ – одну з вершин вписаного трикутника.

2. Від радіуса OA₁ відкладемо центральний кут A₁OB₁ = 2∠C. Позначимо точку B₁ на колі.

3. Від радіуса OB₁ відкладемо центральний кут B₁OC₁ = 2∠A. Знайдемо на колі третю вершину – точку C₁.

4. △A₁B₁C₁ – шуканий.

Доведення

∠A₁C₁B₁ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A₁OB₁ = ∠C; ∠B₁A₁C₁ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠B₁OC₁ = ∠A – як вписані кути.

Отже, △A₁B₁C₁ ~ △ABC – за двома кутами.