1331 Вправа 1331Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1331. На діагоналі AC ромба ABCD взято довільну точку P. Доведи, що AP · PC = AB² – PB².

Дано: ABCD – ромб; P ∈ AC.

Довести: AP · PC = AB² – PB².

Доведення

AC ⊥ BD, AO = OC, тоді △AOB і △POB – прямокутні.

△AOB (∠O = 90°):

AB² = AO² + OB²;

△POB (∠O = 90°):

PB² = PO² + OB²;

AB² – PB² = (AO² + OB²) – (PO² + OB²) = AO² – PO² = (AO – PO)(AO + PO).

AO – PO = AP; AO + PO = OC + OP = PC.

Отже, AP · PC = AB² – PB².