1374 Вправа 1374Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1374. На сторонах AB і CD квадрата ABCD зовні нього побудовано квадрати ABKP і CDEF. Доведи, що ∠KEP + ∠KDP = ∠KAP.

Дано: ABCD – квадрат; ABKP, CDEF – побудовані квадрати.

Довести: ∠KEP + ∠KDP = ∠KAP.

Доведення

Нехай сторона квадрата дорівнює x. KA – діагональ квадрата ABKP, тоді ∠KAP = 45°;

AK = x${\displaystyle \sqrt{2}}$.

△KAD і △EAK:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}\sqrt{2}}{\mathrm{x}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{2}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{x}\sqrt{2}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{2}}$;

∠KAD = ∠EAK – спільний.

Отже, △KAD ~ △EAK (за двома сторонами і кутом між ними). Тоді ∠AKD = ∠AEK = ∠KEP.

∠KAP – зовнішній кут △KAD: ∠KAP = ∠AKD + ∠KDA = ∠KEP + ∠KDP.

Отже, ∠KEP + ∠KDP = ∠KAP.