1376 Вправа 1376Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1376. На діаметрі AB кола, паралельного його хорді CD, взято довільну точку M. Доведи, що MC² + MD² = MA² + MB².

Дано: коло з центром O; AB – діаметр; CD – хорда; AB ∥ CD; M ∈ AB.

Довести: MC² + MD² = MA² + MB².

Доведення

1) Проведемо OK ⊥ CD. Оскільки OK – перпендикуляр до хорди CD, то CK = KD. Проведемо MH ⊥ CD.

MHKO – прямокутник, тоді MH = OK, KH = OM.

2) Обчислимо MC² + MD².

△MHC (∠H = 90°):

MC² = MH² + CH².

△MHD (∠H = 90°):

MD² = MH² + HD².

Нехай CK = KD = a, KH = x, тоді CH = a + x;

HD = a – x.

MC² + MD² = 2MH² + (a + x)² + (a – x)² = 2MH² + 2a² + 2x² = 2(MH² + a²) + 2x².

△OKC (∠K = 90°):

OK² + CK² = OC² = R². OK = MH;

x = KH = OM.

MC² + MD² = 2R² + 2OM².

3) Обчислимо MA² + MB². MA = R + OM; MB = R – OM.

MA² + MB² = (R + OM)² + (R – OM)² = 2R² + 2OM².

Тоді MC² + MD² = MA² + MB².