1365 Вправа 1365Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1365. Задача Евкліда про золотий поділ. Даний відрізок AB точкою P поділи так, щоб виконувалась умова AP : PB = PB : AB.

Розв'язання

Нехай AB = a, PB = x, AP = a – x.

${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{AB}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}}$;

x² = a(a – x);

x² + ax – a² = 0;

D = a² + 4a² = 5a²;

x₁ = ${\displaystyle \frac{-\mathrm{a}-\mathrm{a}\sqrt{5}}{2}}$ – не задовольняє умову;

x₂ = ${\displaystyle \frac{-\mathrm{a}+\mathrm{a}\sqrt{5}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}(\sqrt{5}-1)}{2}}$.

PB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}(\sqrt{5}-1)}{2}}$.

Щоб побудувати відрізок такої довжини, розглянемо прямокутний трикутник з катетами a і ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$; його гіпотенуза дорівнює ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{a}²+\mathrm{a}²:4}}$ = ${\displaystyle \sqrt{5\mathrm{a}²:4}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{5}}{2}}$.

Побудова

1. Із точки B проведемо перпендикуляр до прямої AB.

2. Знайдемо середину M відрізка AB; MB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$.

3. На перпендикулярі від точки B відкладемо відрізок BC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$.

4. З'єднаємо точки A і C; AC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{5}}{2}}$.

5. Коло з центром C і радіусом CB перетинає AC у точці L; AL = AC – CL = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{5}}{2}}$ – ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}(\sqrt{5}-1)}{2}}$.

6. Коло з центром B і радіусом AL перетинає AB у точці P; PB = AL.

Точка P – шукана.