1377 Вправа 1377Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1377. Доведи, що в прямокутному трикутнику з гострим кутом 15° добуток катетів дорівнює квадрату половини гіпотенузи.

Дано: △ABC (∠C = 90°); ∠A = 15°.

Довести: ab = (${\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{2}}$)².

Доведення

1) Проведемо медіану CM. CM = AM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{2}}$ – за властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи.

△AMC – рівнобедрений; ∠ACM = ∠A = 15°.

∠CMB – зовнішній кут △AMC: ∠CMB = ∠A + ∠ACM = 15° + 15° = 30°.

Проведемо висоту CH. △CHM (∠H = 90°): за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, CH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$CM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{4}}$.

2) SABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ab; SABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB · CH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · c · ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}²}{8}}$.

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ab = ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}²}{8}}$;

ab = ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}²}{4}}$;

ab = (${\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{2}}$)².