1358 Вправа 1358Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1358. У чотирикутнику ABCD ∠A = ∠B = 100°, ∠ABD = 50°, ∠CAB = 60°. Знайди кут ACD.

Дано: ABCD – чотирикутник; ∠A = ∠B = 100°; ∠ABD = 50°; ∠CAB = 60°.

Знайти: ∠ACD.

Розв'язання

1) △ABD: ∠ADB = 180° – 100° – 50° = 30°.

2) △ABC: ∠ACB = 180° – 100° – 60° = 20°.

3) ∠CAD = ∠BAD – ∠CAB = 100° – 60° = 40°.

∠CBD = ∠ABC – ∠ABD = 100° – 50° = 50°. Отже, BD – бісектриса ∠B.

4) На промені BC побудуємо точку E таку, що BE = AB.

△ABD = △EBD (за двома сторонами і кутом між ними). Тоді ∠BED = ∠BAD = 100°; DA = DE.

5) △ABE: AB = BE; ∠BAE = ∠BEA = (180° – 100°) : 2 = 40°.

∠EAC = ∠BAC – ∠BAE = 60° – 40° = 20°.

6) △AEC: ∠EAC = 20°;

∠ACE = 20°. Тоді △AEC – рівнобедрений;

AE = EC.

7) △ADE: DA = DE;

∠DAE = ∠DAB – ∠BAE = 100° – 40° = 60°. Тоді △ADE – рівносторонній;

DA = DE = AE.

AE = EC, AE = ED ⇒ ED = EC. Тоді △DEC – рівнобедрений з основою DC.

8) △DEC: ∠DEC = 180° – ∠BED = 180° – 100° = 80°.

∠ECD = ∠EDC = (180° – 80°) : 2 = 50°.

9) ∠ACD = ∠ECD – ∠ECA = 50° – 20° = 30°.

Відповідь: 30°.