1363 Вправа 1363Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1363. Задача Архімеда. Якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці P під прямим кутом, то сума квадратів відрізків AP, BP, CP і DP дорівнює квадрату діаметра кола. Доведи.

Дано: коло; AB ∩ CD = P; AB ⊥ CD; d – діаметр.

Довести: AP² + BP² + CP² + DP² = d².

Доведення

△APC (∠P = 90°):

AP² + CP² = AC².

△BPD (∠P = 90°):

BP² + DP² = BD².

AP² + CP² + BP² + DP² = AC² + BD².

Доведемо, що AC² + BD² = d².

Із точки A проведемо діаметр AL = d. ∠ACL = 90° – як вписаний кут, що спирається на діаметр.

∠ADC = ∠ALC – спираються на дугу AC.

△APD (∠P = 90°):

∠PAD = 90° – ∠ADC.

△ACL (∠C = 90°):

∠LAC = 90° – ∠ALC.

Отже, ∠BAD = ∠LAC. Рівні вписані кути спираються на рівні дуги: ∪BD = ∪CL, тому BD = CL.

△ACL (∠C = 90°):

AC² + CL² = AL² = d²; AC² + BD² = d².

Отже, AP² + BP² + CP² + DP² = d².