1334 Вправа 1334Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1334. Знайди кут між діагоналями паралелограма ABCD, якщо бісектриси кутів BAC і BDC перетинаються під кутом 45°.

Дано: ABCD – паралелограм; AC ∩ BD = O; AK, DK – бісектриси ∠BAC, ∠BDC; ∠AKD = 45°.

Знайти: ∠AOB.

Розв'язання

Нехай ∠BAC = α, ∠BDC = β.

∠BDC = ∠ABD = β – як внутрішні різносторонні при AB ∥ CD і січній BD.

△ABO:

∠AOB = 180° – (α + β); ∠AOD = 180° – ∠AOB = α + β.

△AKD:

∠KAD = ∠OAD + ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$; ∠KDA = ∠ODA + ${\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}$;

∠AKD = 180° – (∠OAD + ∠ODA) – ${\displaystyle \frac{\alpha +\mathrm{\beta }}{2}}$ = ∠AOD – ${\displaystyle \frac{\alpha +\mathrm{\beta }}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\alpha +\mathrm{\beta }}{2}}$.

${\displaystyle \frac{\alpha +\mathrm{\beta }}{2}}$ = 45°; α + β = 90°;

∠AOB = 180° – 90° = 90°.

Відповідь: 90°.