1347 Вправа 1347Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1347. ABCD — паралелограм. Зовні нього побудовано квадрати ABFE і BCKM. Доведи, що відрізки DK і ED рівні і перпендикулярні.

Дано: ABCD – паралелограм; ABFE і BCKM – квадрати.

Довести: DE = DK, DE ⊥ DK.

Доведення

△EAD і △DCK:

1) ∠EAD = ∠DCK = ∠A + 90°;

2) EA = DC (= AB);

3) AD = CK (= BC).

Отже, △EAD = △DCK – за двома сторонами і кутом між ними. Тоді DE = DK як відповідні сторони рівних трикутників, і ∠AED = ∠CDK.

△EAD:

∠ADE + ∠AED = 180° – ∠EAD = 180° – (∠A + 90°) = 90° – ∠A.

∠EDK = ∠ADC – (∠ADE + ∠CDK) = 180° – ∠A – (∠ADE + ∠AED) = 180° – ∠A – (90° – ∠A) = 90°.

Отже, DE ⊥ DK.