1368 Вправа 1368Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1368. Задача ал-Хорезмі. Знайди сторону квадрата, вписаного в рівнобедрений трикутник з бічною стороною 10 і основою 12.

Дано: △ABC (AB = BC) описаний навколо квадрата MNKL; AB = 10; AC = 12.

Знайти: NK.

Розв'язання

Висота BH також є медіаною:

AH = AC : 2 = 12 : 2 = 6.

△AHB (∠H = 90°):

BH = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{AB}²-\mathrm{AH}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{10²-6²}}$ = 8.

Нехай NK = KL = x.

NK ∥ AC, тоді △NBK ~ △ABC.

BP = BH – PH = 8 – x.

З подібності трикутників:

${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BH}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{NK}}{\mathrm{AC}}}$;

${\displaystyle \frac{8-\mathrm{x}}{8}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{12}}$;

12(8 – x) = 8x;

96 – 12x = 8x;

20x = 96;

x = 4,8. NK = 4,8.

Відповідь: 4,8.