1184 Вправа 1184Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 236

1184. Площа трикутника дорівнює добутку півпериметра на радіус вписаного кола. Доведіть.

Дано: △ABC – описаний навколо кола з центром O і радіусом r; p – півпериметр △ABC.

Довести: S△ABC = pr.

Доведення

Сполучимо центр O з вершинами трикутника. Радіуси, проведені в точки дотику, перпендикулярні до сторін.

У △AOC: OK = r – висота;

S△AOC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · r.

У △AOB: OM = r – висота;

S△AOB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB · r.

У △BOC: OF = r – висота;

S△BOC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC · r.

S△ABC = S△AOC + S△AOB + S△BOC =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · r + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB · r + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC · r =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$r(AC + AB + BC) = pr,

оскільки ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(AC + AB + BC) = p.

Що і потрібно було довести.