1208 Вправа 1208Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 239

1208. Доведіть, що в трикутнику з висотами ha, hb і hc та радіусом вписаного кола r має місце рівність: ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{a}}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{b}}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{c}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{r}}}$.

Доведення

S = pr = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(a + b + c) · r;

S = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$aha; S = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$bhb; S = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$chc.

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{a}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}\mathbf{S}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{b}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}\mathbf{S}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{c}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}\mathbf{S}}}$.

${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{a}}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{b}}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{c}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{c}}{\mathbf{2}\mathbf{S}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{c}}{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{)}\mathbf{\cdot }\mathbf{r}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{r}}}$.

Що і потрібно було довести.