1193 Вправа 1193Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 237

1193. Знайдіть площу прямокутного трикутника за його гіпотенузою та відношенням катетів: 1) 25 см, 3 : 4; 2) 5 см, 7 : 24; 3) 25,5 см, 8 : 15; 4) 82 см, 9 : 40.

Дано: △ABC (∠C = 90°).

Знайти: S△ABC.

Розв'язання

1) AB = 25 см; AC : BC = 3 : 4.

Нехай AC = 3x см, тоді BC = 4x см.

У △ABC (∠C = 90°): AB2 = AC2 + BC2 (теорема Піфагора);

252 = (3x)2 + (4x)2;

9x2 + 16x2 = 625;

25x2 = 625;

x2 = 25;

x = 5; AC = 3 · 5 = 15 (см); BC = 4 · 5 = 20 (см).

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 15 · 20 = 150 (см²).

2) AB = 5 см; AC : BC = 7 : 24.

Нехай AC = 7x см, тоді BC = 24x см.

У △ABC (∠C = 90°): AB2 = AC2 + BC2 (теорема Піфагора);

52 = (7x)2 + (24x)2;

49x2 + 576x2 = 25;

625x2 = 25;

x2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{25}}}$; x = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}}$.

AC = 7 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{7}}{\mathbf{5}}}$ (см); BC = 24 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{24}}{\mathbf{5}}}$ (см).

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{7}}{\mathbf{5}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{24}}{\mathbf{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{168}}{\mathbf{50}}}$ = 3,36 (см²).

3) AB = 25,5 см; AC : BC = 8 : 15.

Нехай AC = 8x см, тоді BC = 15x см.

У △ABC (∠C = 90°): AB2 = AC2 + BC2 (теорема Піфагора);

25,52 = (8x)2 + (15x)2;

64x2 + 225x2 = 650,25;

289x2 = 650,25;

x2 = 2,25; x = 1,5.

AC = 8 · 1,5 = 12 (см); BC = 15 · 1,5 = 22,5 (см).

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 12 · 22,5 = 135 (см²).

4) AB = 82 см; AC : BC = 9 : 40.

Нехай AC = 9x см, тоді BC = 40x см.

У △ABC (∠C = 90°): AB2 = AC2 + BC2 (теорема Піфагора);

822 = (9x)2 + (40x)2;

81x2 + 1600x2 = 6724;

1681x2 = 6724;

x2 = 4; x = 2.

AC = 9 · 2 = 18 (см); BC = 40 · 2 = 80 (см).

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 18 · 80 = 720 (см²).

Відповідь: 1) 150 см²; 2) 3,36 см²; 3) 135 см²; 4) 720 см².