1200 Вправа 1200Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 238

1200. Доведіть, що площа трикутника з вершиною в точці перетину медіан даного трикутника та спільною з ним стороною становить третину площі даного трикутника (мал. 533).

Дано: △ABC; AN, BM, CK – медіани; O – точка їх перетину.

Довести: S△AOC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$S△ABC.

Доведення

Медіани трикутника точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини, тому OM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$BM.

Проведемо BH ⊥ AC і OH1 ⊥ AC.

∠OH1M = ∠BHM = 90°; ∠M – спільний, тому

△OH1M ~ △BHM (за двома кутами).

${\displaystyle \frac{{\mathbf{OH}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{BH}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OM}}{\mathbf{BM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$;

OH1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$BH.

S△AOC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · OH1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · BH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$S△ABC.

Що і потрібно було довести.