1204 Вправа 1204Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 238

1204. Доведіть, що площу гострокутного трикутника ABC обчислюють за формулою: S = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$b · c · sin A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$a · c · sin B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$a · b · sin C (мал. 535).

Доведення

Проведемо висоти BD ⊥ AC, AF ⊥ BC.

У △ABD (∠D = 90°): BD = AB sin A = c sin A, тоді

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}\mathbf{\cdot }\mathbf{BD}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{bc}\mathbf{sin}\mathbf{A}}{\mathbf{2}}}$.

У △ABF (∠F = 90°): AF = AB sin B = c sin B, тоді

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}\mathbf{\cdot }\mathbf{AF}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ac}\mathbf{sin}\mathbf{B}}{\mathbf{2}}}$.

У △BCD (∠D = 90°): BD = BC sin C = a sin C, тоді

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}\mathbf{\cdot }\mathbf{BD}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ab}\mathbf{sin}\mathbf{C}}{\mathbf{2}}}$.

Що і потрібно було довести.