1198 Вправа 1198Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 237

1198. Знайдіть площу прямокутного трикутника за півсумою t його катетів та радіусами r і R вписаного й описаного кіл, якщо: 1) t = 7 см, r = 2 см, R = 5 см; 2) t = 17 см, r = 4 см, R = 13 см.

Нехай △ABC (∠C = 90°); ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}\mathbf{+}\mathbf{AC}}{\mathbf{2}}}$ = t; r – радіус вписаного кола; R – радіус описаного кола.

1 спосіб:

R = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB; r = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}\mathbf{+}\mathbf{BC}\mathbf{-}\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}}$.

1) t = 7 см; r = 2 см; R = 5 см;

AB = 2R = 10 см; AC + BC = 2t = 14 см;

перевірка: r = ${\displaystyle \frac{\mathbf{14}\mathbf{-}\mathbf{10}}{\mathbf{2}}}$ = 2 (см).

AC = x; BC = 14 – x;

x2 + (14 – x)2 = 100;

x2 + 196 – 28x + x2 = 100;

x2 – 14x + 48 = 0; x1 = 6; x2 = 8;

AC = 6 см; BC = 8 см (або навпаки);

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC · AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 6 · 8 = 24 (см²).

2) t = 17 см; r = 4 см; R = 13 см;

AB = 26 см; AC + BC = 34 см;

AC = x; BC = 34 – x;

x2 + (34 – x)2 = 676;

2x2 – 68x + 480 = 0;

x2 – 34x + 240 = 0; x1 = 24; x2 = 10;

AC = 24 см; BC = 10 см;

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 24 · 10 = 120 (см²).

2 спосіб:

Центр описаного кола прямокутного трикутника – середина гіпотенузи, тому AB = 2R.

p = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}\mathbf{+}\mathbf{BC}\mathbf{+}\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}\mathbf{+}\mathbf{BC}}{\mathbf{2}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}}$ = t + R.

S△ABC = pr = (t + R) · r.

1) S△ABC = (7 + 5) · 2 = 24 (см²).

2) S△ABC = (17 + 13) · 4 = 120 (см²).

Відповідь: 1) 24 см²; 2) 120 см².