1212 Вправа 1212Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 239

1212. Доведіть, що коло, вписане в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки, добуток яких дорівнює площі цього трикутника.

Дано: △ABC (∠C = 90°); коло з центром O, r – радіус; K, P, M – точки дотику; AK = x, BK = y.

Довести: xy = S△ABC.

Доведення

Відрізки дотичних, проведених з однієї точки, рівні:

AM = AK = x; BP = BK = y;

CM = CP = r (OMCP – квадрат).

AC = x + r; BC = y + r; AB = x + y.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(x + r)(y + r);

S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(x + y)r + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(y + r)r + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(x + r)r = r(x + y + r).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(xy + xr + yr + r2) = r(x + y + r);

xy + r(x + y) + r2 = 2r(x + y) + 2r2;

xy = r(x + y) + r2 = r(x + y + r) = S△ABC.

Що і потрібно було довести.