1205 Вправа 1205Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 238

1205. Доведіть, що сума відстаней від будь-якої точки, що лежить всередині рівностороннього трикутника, до його сторін дорівнює висоті трикутника.

Нехай дано рівносторонній △ABC; AB = BC = AC = a; h – його висота; M – точка всередині трикутника.

MK ⊥ AB, MP ⊥ BC, MN ⊥ AC;

MK = h1; MP = h2; MN = h3.

Доведення

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ah;

S△ABC = S△AMB + S△BMC + S△AMC =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ah1 + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ah2 + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ah3 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$a(h1 + h2 + h3).

Отже, ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ah = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$a(h1 + h2 + h3),

тому h1 + h2 + h3 = h.

Що і потрібно було довести.