1210 Вправа 1210Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 239

1210. У якому відношенні, рахуючи від вершини, потрібно поділити бічну сторону трикутника двома прямими, паралельними основі, щоб площа трикутника була поділена на три рівні частини?

Нехай дано △ABC; MN ∥ AC; PK ∥ AC; S – площа △ABC.

S△MBN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$S; S△PBK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$S.

△MBN ~ △ABC, △PBK ~ △ABC, а площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:

(${\displaystyle \frac{\mathbf{BM}}{\mathbf{BA}}}$)2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$; BM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BA}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$;

(${\displaystyle \frac{\mathbf{BP}}{\mathbf{BA}}}$)2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$; BP = ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{\cdot }\mathbf{BA}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$.

BM : MP : PA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ : ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ : ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{2}}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ =

= 1 : (${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ – 1) : (${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ – ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$).

Відповідь: 1 : (${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ – 1) : (${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ – ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$).