1187 Вправа 1187Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 236

1187. Основа піраміди – квадрат (мал. 531), а її бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники, у яких бічна сторона 15 см, а висота, проведена до основи, – 12 см. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь піраміди.

Дано: SABCD – піраміда; ABCD – квадрат; SB = SC = 15 см; SM = 12 см.

Знайти: Sб.п.; Sп.п.

Розв'язання

SM є висотою і медіаною △BSC (за властивістю рівнобедреного трикутника).

У △SMB (∠M = 90°) за теоремою Піфагора:

BM = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{SB}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{SM}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{15}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{12}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{225}\mathbf{-}\mathbf{144}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{81}}}$ = 9 (см).

BC = 2 · BM = 2 · 9 = 18 (см).

S△BSC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC · SM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 18 · 12 = 108 (см²).

Sб.п. = 4 · S△BSC = 4 · 108 = 432 (см²).

SABCD = BC2 = 182 = 324 (см²);

Sп.п. = Sб.п. + SABCD = 432 + 324 = 756 (см²).

Відповідь: 432 см²; 756 см².