1189 Вправа 1189Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 237

1189. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як m : n, а висота, проведена до основи, дорівнює h. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1) m = 5, n = 6, h = 12 см; 2) m = 17, n = 16, h = 15 см.

Дано: △ABC; AB = BC; AB : AC = m : n; BD ⊥ AC; BD = h.

Знайти: S△ABC.

Розв'язання

BD – висота і медіана △ABC (за властивістю рівнобедреного трикутника).

1) AB : AC = 5 : 6; BD = 12 см.

Нехай AB = 5x см, тоді AC = 6x см.

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 6x = 3x (см).

У △ADB (∠D = 90°): AB2 = BD2 + AD2 (теорема Піфагора);

(5x)2 = 122 + (3x)2;

25x2 – 9x2 = 144;

16x2 = 144;

x2 = 9; x = 3; AC = 6 · 3 = 18 (см).

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 18 · 12 = 108 (см²).

2) AB : AC = 17 : 16; BD = 15 см.

Нехай AB = 17x см, тоді AC = 16x см.

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 16x = 8x (см).

У △ADB (∠D = 90°): AB2 = BD2 + AD2 (теорема Піфагора);

(17x)2 = 152 + (8x)2;

289x2 – 64x2 = 225;

225x2 = 225;

x2 = 1; x = 1; AC = 16 · 1 = 16 (см).

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC · BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 16 · 15 = 120 (см²).

Відповідь: 1) 108 см²; 2) 120 см².