1206 Вправа 1206Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 21 · стор. 238

1206. Кожний трикутник рівноскладений з прямокутником, у якого одна зі сторін дорівнює стороні трикутника, а інша дорівнює половині відповідної висоти трикутника. Доведіть.

Дано: △ABC; AC – найбільша сторона; BD – висота.

Довести: △ABC рівноскладений з прямокутником ARXC, у якого AR = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD.

Доведення

Проведемо середню лінію PO (P – середина AB, O – середина BC); вона перетинає BD у точці L, LD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD.

Через A і C проведемо перпендикуляри до AC до перетину з прямою PO в точках R і X. ARXC – прямокутник, AR = LD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD.

У △BLP і △ARP:

∠BLP = ∠ARP = 90°;

BP = AP (P – середина AB);

∠BPL = ∠APR (вертикальні).

Отже, △BLP = △ARP (за гіпотенузою і гострим кутом).

Аналогічно △BLO = △CXO.

Трикутник ABC складається з трапеції APOC і трикутників BLP, BLO, а прямокутник ARXC – з тієї самої трапеції і рівних їм трикутників ARP, CXO.

Отже, △ABC і прямокутник ARXC – рівноскладені.

Що і потрібно було довести.