611 Вправа 611Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 113

611. CK — бісектриса △ABC. Знайди: а) AK і KB, якщо AC = 8 см, BC = 20 см, AB = 21 см; б) BC, якщо AC = 27 см і AK : KB = 9 : 4; в) AB, якщо BC = 28 см, AC = 20 см і AK на 6 см менша від BK.

Дано: △ABC; CK — бісектриса.

Розв'язання

а) AK і KB, якщо AC = 8 см, BC = 20 см, AB = 21 см.

Нехай KB = x см, тоді AK = (21 – x) см.

За властивістю бісектриси трикутника:

${\displaystyle \frac{\mathrm{KB}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{AC}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{20}}$ = ${\displaystyle \frac{21-\mathrm{x}}{8}}$;

8x = 20(21 – x);

8x = 420 – 20x;

8x + 20x = 420;

28x = 420;

x = 15;

KB = 15 см. AK = 21 – 15 = 6 (см).

б) BC, якщо AC = 27 см і AK : KB = 9 : 4.

За властивістю бісектриси трикутника:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{KB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}}$;

${\displaystyle \frac{9}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{27}{\mathrm{BC}}}$; BC = ${\displaystyle \frac{4\cdot 27}{9}}$ = 12 (см).

в) AB, якщо BC = 28 см, AC = 20 см і AK на 6 см менша від BK.

Нехай AK = x см, BK = (x + 6) см.

За властивістю бісектриси трикутника:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{BK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+6}}$ = ${\displaystyle \frac{20}{28}}$;

28x = 20(x + 6);

28x = 20x + 120;

28x – 20x = 120;

8x = 120;

x = 15.

AK = 15 см. BK = 15 + 6 = 21 (см);

AB = AK + BK = 15 + 21 = 36 (см).

Відповідь: а) 6 см і 15 см; б) 12 см; в) 36 см.