645 Вправа 645Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 116

645. Знайди довжини хорд AB і CD, які перетинаються в точці K так, що AK = 18 см, CK = 20 см, KB + KD = 19 см.

Нехай хорди AB і CD перетинаються в точці K.

AK = 18 см, CK = 20 см, KB + KD = 19 см.

△CAK ~ △BDK (за двома кутами):

∠CKA = ∠BKD — вертикальні кути, ∠ACD = ∠ABD — вписані кути, що спираються на дугу AD.

З їх подібності маємо: ${\displaystyle \frac{\mathrm{CK}}{\mathrm{BK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{KD}}}$, тобто CK · KD = AK · KB. Нехай BK = x, KD = 19 – x;

${\displaystyle \frac{20}{\mathrm{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{18}{19-\mathrm{x}}}$;

20(19 – x) = 18x;

380 – 20x = 18x;

38x = 380;

x = 10.

Отже, BK = 10 см, KD = 9 см.

AB = AK + BK = 18 + 10 = 28 (см), CD = CK + KD = 20 + 9 = 29 (см).

Відповідь: 28 см, 29 см.