634 Вправа 634Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 115

634. У прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квадрат CMNK так, що точки M і K лежать на катетах, а точка N — на гіпотенузі. Знайди AN і BN, якщо AC = 21 см, BC = 28 см, AB = 35 см.

Дано: △ABC (∠C = 90°); AC = 21 см; BC = 28 см; AB = 35 см; CMNK — квадрат.

Знайти: AN, BN.

Розв'язання

△AMN ~ △ACB (за двома кутами):

${\displaystyle \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{CB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AC}}}$.

Нехай MN = MC = x см, тоді AM = AC – CM = (21 – x) см;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{28}}$ = ${\displaystyle \frac{21-\mathrm{x}}{21}}$;

21x = 28(21 – x);

21x = 588 – 28x;

49x = 588;

x = 12.

MN = 12 см; AM = 21 – 12 = 9 (см).

△AMN (∠M = 90°): AN = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{AM}²+\mathrm{MN}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{9²+12²}}$ = 15 (см);

BN = AB – AN = 35 – 15 = 20 (см).

Відповідь: 15 см; 20 см.