636 Вправа 636Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 115

636. Відкрита задача. У △ABC зі сторонами AB = 10 см і AC = 12 см вписано чотирикутник AMNK так, що кут A у них спільний і M ∈ AB, N ∈ BC, K ∈ AC, MN ∥ AC, NK ∥ AB. Знайдіть периметр чотирикутника AMNK, якщо він є …, а про його сторони відомо таке: … .

Доповнимо умову: чотирикутник AMNK — паралелограм (MN ∥ AK, NK ∥ AM), а сторона AM на 1 см менша від сторони MN.

Дано: △ABC; AMNK — паралелограм; AB = 10 см; AC = 12 см; MN ∥ AC; NK ∥ AB; AM на 1 см менша від MN.

Знайти: PAMNK.

Розв'язання

△MBN ~ △ABC (за двома кутами):

${\displaystyle \frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{AC}}}$.

Нехай AM = x см, тоді MN = (x + 1) см, MB = AB – AM = (10 – x) см;

${\displaystyle \frac{10-\mathrm{x}}{10}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+1}{12}}$;

10(x + 1) = 12(10 – x);

10x + 10 = 120 – 12x;

22x = 110;

x = 5.

AM = 5 см; MN = 5 + 1 = 6 (см).

PAMNK = 2(AM + MN) = 2(5 + 6) = 22 (см).

Відповідь: 22 см.