637 Вправа 637Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 115

637. У тупокутний трикутник ABC (кут B — тупий) вписано ромб MBKP так, що кут B — спільний, а точка P ділить сторону AC на відрізки AP = 10 см і PC = 16 см. Установіть відповідність між сторонами трикутника (1–3) та їх довжинами (А–Д), якщо периметр трикутника дорівнює 65 см. 1 AB; 2 BC; 3 AC. А 10 см; Б 15 см; В 16 см; Г 24 см; Д 26 см.

Дано: △ABC; P△ABC = 65 см; MBKP — ромб; AP = 10 см; PC = 16 см.

Знайти: AB, BC, AC.

Розв'язання

AC = AP + PC = 10 + 16 = 26 (см); AB + BC = 65 – 26 = 39 (см).

Нехай сторона ромба дорівнює x см.

△ABC ~ △PKC (за двома кутами, PK ∥ AB):

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PC}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{26}{16}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{26\mathrm{x}}{16}}$ = ${\displaystyle \frac{13\mathrm{x}}{8}}$.

△CBA ~ △PMA (за двома кутами, PM ∥ BC):

${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AP}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{26}{10}}$;

BC = ${\displaystyle \frac{26\mathrm{x}}{10}}$ = ${\displaystyle \frac{13\mathrm{x}}{5}}$.

AB + BC = 39;

${\displaystyle \frac{13\mathrm{x}}{8}}$ + ${\displaystyle \frac{13\mathrm{x}}{5}}$ = 39 | · 40;

65x + 104x = 1560;

169x = 1560 | : 13;

13x = 120;

x = ${\displaystyle \frac{120}{13}}$.

1) AB = ${\displaystyle \frac{13}{8}}$ · ${\displaystyle \frac{120}{13}}$ = 15 (см) — Б.

2) BC = 39 – AB = 39 – 15 = 24 (см) — Г.

3) AC = AP + PC = 10 + 16 = 26 (см) — Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.