640 Вправа 640Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 115

640. У трикутник зі сторонами 10 см, 14 см і 18 см вписано півколо, яке дотикається до двох сторін трикутника і центр якого лежить на більшій стороні. Знайди, на які частини центр кола ділить більшу сторону.

Нехай дано △ABC, AB = 10 см, BC = 14 см, AC = 18 см, O ∈ AC. OK ⊥ AB, OF ⊥ BC.

OK і OF — радіуси півкола. OK = OF.

△KBO = △FBO (за гіпотенузою OB — спільна — і катетом), тому ∠ABO = ∠CBO, BO — бісектриса кута B.

За властивістю бісектриси маємо:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OC}}}$;

AO = x;

${\displaystyle \frac{10}{14}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{18-\mathrm{x}}}$;

180 – 10x = 14x;

24x = 180;

x = 7,5.

AO = 7,5 см; OC = 18 – 7,5 = 10,5 (см).

Відповідь: 7,5 см; 10,5 см.