641 Вправа 641Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 115

641. У рівнобедреному трикутнику, периметр якого 72 см, радіус вписаного кола становить ${\displaystyle \frac{5}{18}}$ висоти, проведеної до основи. Знайди сторони трикутника.

Нехай дано △ABC, AB = BC, P△ABC = 72 см.

BK — висота (вона є і бісектрисою, і медіаною), AF — бісектриса, O — центр вписаного кола.

OK — радіус вписаного кола. OK = ${\displaystyle \frac{5}{18}}$BK. Нехай OK = 5x, тоді BK = 18x, OB = 13x.

За властивістю бісектриси кута трикутника (△ABK) маємо:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OK}}}$ = ${\displaystyle \frac{13}{5}}$, тоді AB = 13y, AK = 5y, AC = 10y.

Складаємо рівняння:

13y + 10y + 13y = 72;

36y = 72;

y = 2.

AB = 26 см; BC = 26 см; AC = 20 см.

Відповідь: 26 см; 26 см; 20 см.