613 Вправа 613Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 113

613. Бісектриса одного кута прямокутника ABCD ділить діагональ на відрізки, пропорційні числам 5 і 9. Знайди сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 140 см. Склади план розв'язування задачі та розв'яжи її.

Дано: ABCD — прямокутник; AC — діагональ, BM — бісектриса; AM : MC = 5 : 9; PABCD = 140 см.

Знайти: AB, BC.

Розв'язання

PABCD = 2(AB + BC);

2(AB + BC) = 140;

AB + BC = 70.

Нехай AB = x см, тоді BC = (70 – x) см.

За властивістю бісектриси трикутника (△ABC):

${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$;

${\displaystyle \frac{5}{9}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{70-\mathrm{x}}}$;

9x = 5(70 – x);

9x = 350 – 5x;

9x + 5x = 350;

14x = 350;

x = 25.

AB = 25 см. BC = 70 – 25 = 45 (см).

Відповідь: 25 см, 45 см.