650 Вправа 650Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 116

650. Бісектриса зовнішнього кута трикутника ABC при вершині B перетинає пряму AC у точці P (мал. 11.16). Доведи, що AP : AB = PC : BC.

Дано: △ABC; BP — бісектриса зовнішнього кута DBC; BP ∩ AC = P.

Довести: AP : AB = PC : BC.

Доведення

Проведемо CK ∥ BP (K ∈ AB).

∠KCB = ∠CBP — як внутрішні різносторонні при BP ∥ KC і січній BC.

∠BKC = ∠DBP — як відповідні при BP ∥ KC і січній AD.

∠DBP = ∠CBP, отже, ∠BKC = ∠BCK. Тоді △KBC — рівнобедрений; BK = BC.

За узагальненою теоремою Фалеса:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BK}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$.

Переставимо середні члени пропорції:

AP : AB = PC : BC.