651 Вправа 651Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 116

651. Відстань від центроїда трикутника до довільної прямої, яка не перетинає трикутник, дорівнює середньому арифметичному відстаней від усіх його вершин до цієї прямої. Доведи це, користуючись малюнком 11.17.

Дано: △ABC; пряма l, M — центроїд; AA₁ = a; BB₁ = b; CC₁ = c; MM₁ = m.

Довести: m = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{3}}$.

Доведення

Нехай AK — медіана △ABC, K — середина BC, KK₁ ⊥ l.

Оскільки пряма l не перетинає △ABC, проекції B₁ і C₁ точок B і C на пряму l утворюють з ними трапецію BCC₁B₁.

KK₁ — середня лінія трапеції:

KK₁ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BB}₁+\mathrm{CC}₁}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}}$.

Точка M лежить на медіані AK і ділить її у відношенні 2 : 1: AM = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$AK.

Розглянемо прямокутну трапецію A₁AKK₁: MM₁ ∥ AA₁.

MM₁ = ${\displaystyle \frac{1\cdot \mathrm{AA}₁+2\cdot \mathrm{KK}₁}{1+2}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{3}}$, оскільки 2 · KK₁ = b + c.

Отже, m = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{3}}$.