649 Вправа 649Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 116

649. Бісектриси кутів при основі рівнобедреного трикутника перетинають бічні сторони в точках P і K. Знайди PK, якщо довжина бічної сторони дорівнює m, а довжина основи n.

Нехай дано рівнобедрений △ABC, AB = BC = m, AC = n.

AP і CK — бісектриси кутів при основі рівнобедреного трикутника.

△ABC, за властивістю бісектриси кута трикутника маємо:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}}$;

BP = x, PC = m – x;

${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{m}-\mathrm{x}}}$;

m² – xm = xn;

x = ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}²}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}}$.

Аналогічно BK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}²}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}}$, тобто BK = BP.

△BKP ~ △BAC (дві сторони пропорційні, а кут B між ними спільний).

${\displaystyle \frac{\mathrm{KP}}{\mathrm{BP}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}}$; KP = BP · ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}²}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{mn}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\mathrm{mn}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}}$.