633 Вправа 633Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 115

Умова

Користуючись умовою попередньої задачі, доведи, що бісектриси кутів B і D ділять діагональ AC на три рівні відрізки.

633. Користуючись умовою попередньої задачі, доведи, що бісектриси кутів B і D ділять діагональ AC на три рівні відрізки.

Графік

Нехай бісектриса кута B перетинає AC у точці M, а бісектриса кута D — у точці N. Доведемо, що AM = MN = NC.

У попередній задачі було доведено, що AB = a; BC = 2a.

AB : BC = 1 : 2, тому AM : MC = 1 : 2 (властивість бісектриси △ABC). AM = $\frac{1}{3}$ AC.

Аналогічно у △ADC: CN : NA = CD : DA = 1 : 2, тому NC = $\frac{1}{3}$ AC.

Тоді і MN = AC – AM – NC = $\frac{1}{3}$ AC, тому AM = MN = NC, що й треба було довести.