219 Вправа 219Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 4 · стор. 42
Умова
На одній зі сторін кута відклали рівні відрізки і через їх кінці провели прямі, перпендикулярні до бісектриси кута. Доведи, що відрізки, утворені на обох сторонах кута, рівні.
Розв'язок
219. На одній зі сторін кута відклали рівні відрізки і через їх кінці провели прямі, перпендикулярні до бісектриси кута. Доведи, що відрізки, утворені на обох сторонах кута, рівні.
На стороні AB ∠BAC відкладено рівні відрізки AB1 = B1B2 = B2B3. Через їх кінці проведено прямі, перпендикулярні до бісектриси AL; вони перетинають бісектрису в точках L1, L2, L3, а сторону AC — у точках C1, C2, C3.
Довести: AC1 = C1C2 = C2C3 = AB1.
Доведення:
Прямі B1C1, B2C2, B3C3 перпендикулярні до однієї прямої AL, тому вони паралельні між собою.
Тоді за теоремою Фалеса AC1 = C1C2 = C2C3.
У кожному трикутнику BiACi бісектриса ALi є і висотою, тому △BiACi — рівнобедрений: ABi = ACi.
Зокрема, AC1 = AB1. Отже, AB1 = B1B2 = B2B3 = AC1 = C1C2 = C2C3, що й треба було довести.