245 Вправа 245Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 4 · стор. 44

245. Доведи, що периметр ромба, вписаного в рівносторонній трикутник (гострий кут ромба збігається з кутом трикутника), дорівнює 2a, де a — довжина сторони трикутника.

Дано: KBLM — ромб, вписаний в △ABC (K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ AC); AB = BC = AC = a.

Довести: PKBLM = 2a.

Доведення:

KM ∥ BL, тобто KM ∥ BC, тому ∠AKM = ∠ABC як відповідні кути.

△ABC — рівносторонній, тому ∠A = ∠ABC, отже, ∠AKM = ∠A і △AKM — рівнобедрений: AK = KM.

KM = KB як сторони ромба, тому AK = KB, тобто K — середина AB:

KB = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$.

PKBLM = 4 · KB = 4 · ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$ = 2a, що й треба було довести.