222 Вправа 222Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 4 · стор. 42

222. Середини сторін ромба послідовно сполучили відрізками. Доведи, що утворений чотирикутник — прямокутник.

ABCD — ромб; AM = MB, BN = NC, CP = PD і AK = KD.

Довести: MNPK — прямокутник.

Доведення:

MN, NP, PK і KM — середні лінії △ABC, △BCD, △CDA і △ABD відповідно. Тоді

MN ∥ PK ∥ AC і MN = PK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC;

NP ∥ MK ∥ BD.

Отже, MNPK — паралелограм.

ABCD — ромб, тому AC ⊥ BD як діагоналі ромба. Тоді MN ⊥ MK, тобто ∠NMK = 90°.

Паралелограм із прямим кутом — прямокутник. Отже, MNPK — прямокутник, що й треба було довести.