232 Вправа 232Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 4 · стор. 43

232. Відрізок AB точками M, N, K поділили на 4 рівні частини (мал. 4.15). Знайди відстані від точок M і N до прямої, яка проходить через точку A на відстані 12 см від точки B.

1 спосіб:

Дано: AM = MN = NK = KB = ${\displaystyle \frac{1}{4}}$AB; a — пряма, A ∈ a;

BC ⊥ a, BC = 12 см; ML ⊥ a, NP ⊥ a (L, P ∈ a).

Знайти: ML і NP.

Розв'язання:

ML ⊥ a, NP ⊥ a і BC ⊥ a, тому ML ∥ NP ∥ BC. Тоді за теоремою Фалеса AL = LP і AP = PC.

У △ABC AN = NB і AP = PC, тоді NP — середня лінія △ABC:

NP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 12 = 6 (см).

Аналогічно, AM = MN і AL = LP, тому ML — середня лінія △ANP:

ML = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$NP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 6 = 3 (см).

Відповідь: 3 см і 6 см.

2 спосіб:

AM = MN = NK = KB, BH ⊥ a, BH = 12 см.

Проведемо MC ∥ BH, ND ∥ BH, KF ∥ BH, тоді MC ⊥ a, ND ⊥ a, KF ⊥ a.

Далі проведемо MS ∥ a, NR ∥ a, KP ∥ a, тоді за теоремою Фалеса

BP = PR = RS = SH = ${\displaystyle \frac{12}{4}}$ = 3 (см).

CMSH і DNRH — прямокутники, тому

MC = SH = 3 см,

ND = RH = 3 + 3 = 6 (см).

Відповідь: 3 см і 6 см.