689 Вправа 689Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 134

689. Бічні сторони AD і BC трапеції ABCD продовжено до їх перетину в точці O. Доведіть, що ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{AO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{BO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{DC}}}$.

Доведення

AB ∥ DC (основи трапеції).

∠O – спільний;

∠OAB = ∠ODC (відповідні при AB ∥ DC і січній OD).

Отже, △OAB ∽ △ODC (за двома кутами).

З подібності трикутників:

${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{DO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}}{\mathbf{CO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{DC}}}$.

Паралельні прямі AB і DC перетинають сторони кута O, тому за узагальненою теоремою Фалеса:

${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{AO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{BO}}}$.

Отже, ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{AO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{BO}}}$ і ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{DO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}}{\mathbf{CO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{DC}}}$.