698 Вправа 698Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 135

698. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює P. Через точку перетину його медіан проведено пряму, паралельну стороні. Доведіть, що довжину відрізка d цієї прямої з кінцями на сторонах трикутника можна обчислити за формулою: d = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{P}}{\mathbf{9}}}$.

Дано: △ABC – рівносторонній; P – периметр △ABC; O – точка перетину медіан; O ∈ KP; KP ∥ AC.

Довести: KP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{P}}{\mathbf{9}}}$.

Доведення

Медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}}{\mathbf{ON}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{1}}}$, а ${\displaystyle \frac{\mathbf{BN}}{\mathbf{BO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}}$.

∠B – спільний;

∠BKO = ∠BAN (відповідні при KP ∥ AC і січній AB).

Отже, △KBO ∽ △ABN (за двома кутами).

AN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{P}}{\mathbf{3}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{P}}{\mathbf{6}}}$.

З подібності △KBO і △ABN:

${\displaystyle \frac{\mathbf{AN}}{\mathbf{KO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BN}}{\mathbf{BO}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathbf{P}}{\mathbf{6}}}$ : KO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}}$.

Звідси KO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{P}}{\mathbf{6}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{P}}{\mathbf{9}}}$.

BN – медіана і висота рівностороннього трикутника, тому O – середина KP:

KP = 2KO = 2 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{P}}{\mathbf{9}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{P}}{\mathbf{9}}}$.

Що і потрібно було довести.