704 Вправа 704Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 135

704. У рівнобедрений трикутник з основою a й бічною стороною b вписано коло із центром O. Знайдіть відношення відрізків висоти, проведеної до основи трикутника, на які вона ділиться точкою O (починаючи від вершини), якщо: 1) a = 12 см, b = 10 см; 2) a = 10 см, b = 13 см.

△ABC – рівнобедрений; BK ⊥ AC; K – середина AC.

O – центр вписаного кола, O ∈ BK.

ON ⊥ AB (N – точка дотику); OK = ON = r.

△ABK і △OBN – прямокутні;

∠B – спільний.

Отже, △ABK ∽ △OBN (за двома кутами).

${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{OB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{ON}}}$, звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{OB}}{\mathbf{ON}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AK}}}$, тобто ${\displaystyle \frac{\mathbf{OB}}{\mathbf{OK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AK}}}$.

1) AC = 12 см; AB = 10 см; AK = 6 см.

${\displaystyle \frac{\mathbf{OB}}{\mathbf{OK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{10}}{\mathbf{6}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{3}}}$.

Висота BK ділиться точкою O у відношенні 5 : 3 (починаючи від вершини).

2) AC = 10 см; AB = 13 см; AK = 5 см.

${\displaystyle \frac{\mathbf{OB}}{\mathbf{OK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{13}}{\mathbf{5}}}$.

Точка O ділить висоту у відношенні 13 : 5.

Відповідь: 1) 5 : 3; 2) 13 : 5.