715 Вправа 715Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 136

715. Доведіть, що відстані від точки перетину медіан трикутника до його сторін утричі менші від довжин відповідних висот трикутника.

Дано: △ABC; O – точка перетину медіан; CD – медіана; CN ⊥ AB; OK ⊥ AB.

Довести: OK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$CN.

Доведення

CN – висота, проведена до сторони AB.

∠D – спільний; ∠K = ∠N = 90°.

Отже, △ODK ∽ △CDN (за двома кутами).

З подібності трикутників маємо ${\displaystyle \frac{\mathbf{OK}}{\mathbf{CN}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{CD}}}$.

CO : OD = 2 : 1 (медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини),

тоді OD : CD = 1 : 3.

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{OK}}{\mathbf{CN}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{CD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$.

Тобто відстань від точки O до сторони AB утричі менша, ніж висота, проведена до сторони AB. Аналогічно для інших сторін.

Що і потрібно було довести.