721 Вправа 721Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 137

721. У трикутник ABC зі сторонами AC = b і BC = a вписано ромб CKLM так, що K ∈ AC, L ∈ AB, M ∈ BC. Доведіть, що сторону x ромба можна обчислити за формулою: x = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}$.

Доведення

У △ABC: AC = b; BC = a.

CKLM – ромб, тому LK ∥ MC, тобто LK ∥ BC.

∠ABC = ∠ALK (відповідні при BC ∥ LK і січній AB);

∠A – спільний.

Отже, △ABC ∽ △ALK (за двома кутами).

З подібності: ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{LK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AK}}}$, або ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{LK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AC}\mathbf{-}\mathbf{KC}}}$.

Нехай x – сторона ромба, тоді LK = KC = x.

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{x}}}$;

ab – ax = bx;

bx + ax = ab;

x(a + b) = ab;

x = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}$.

Що і потрібно було довести.