699 Вправа 699Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 135

699. У трикутнику зі сторонами a, b і c пряма перетинає кут A й відтинає від нього трапецію з периметром P. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо: 1) a = 30 см, b = 20 см, c = 15 см, P = 63 см; 2) a = b = c = 18 см, P = 50 см.

1)

BKMC – трапеція, тому KM ∥ BC.

∠A – спільний;

∠AKM = ∠ACB (відповідні при KM ∥ CB і січній AC).

Отже, △AKM ∽ △ACB (за двома кутами).

${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CB}}{\mathbf{KM}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathbf{15}}{\mathbf{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{20}}{\mathbf{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{30}}{\mathbf{KM}}}$,

або ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}}{\mathbf{KM}}}$.

Нехай AK = x, тоді AM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{AK}}{\mathbf{3}}}$ = 1${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$x; KM = 2x.

Звідси CK = 15 – x; MB = 20 – 1${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$x.

PCKMB = 2x + 15 – x + 20 – 1${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$x + 30;

за умовою PCKMB = 63 см.

Отже, 2x + 15 – x + 20 – 1${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$x + 30 = 63;

–${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$x = –2;

x = 6.

Тоді KM = 2 · 6 = 12 (см).

2)

△AKM ∽ △ACB (як у пункті 1);

${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CB}}{\mathbf{KM}}}$.

Оскільки AC = AB = CB, то AK = AM = KM.

Нехай AK = AM = KM = x,

тоді CK = 18 – x; MB = 18 – x.

PCKMB = 50 см, тому

18 – x + x + 18 – x + 18 = 50;

–x = –4;

x = 4.

Отже, KM = 4 см.

Відповідь: 1) 12 см; 2) 4 см.